□杭州经济技术开发区文思小学 周航呈
一、问题的提出
数阵在小学低段计算教学中出现频率较高，而且一般定位于“拓展题”。传统教学中，各种等式、数列、数阵的题目并没有系统地联结，只是单纯地“就题论题”，学生也只能通过“试一试”“凑一凑”去找答案，缺少合理、灵活的方法。其实，只要理解“和相等”问题，就可以系统地涵盖所有数阵、数列、连等式。“和相等”，即几组两个或多个数相加“和相等”类型题。因此，笔者思考能否以一种全新的思路，更灵活简便地解决“和相等”问题，并通过模型建构使其有更广泛的应用。
二、“和相等”问题的模型建构
（一）等号意义和加数关系解决“和相等”
用传统方法解决“和相等”问题需要具备两部分知识。一是等号的意义，即等号两边数值相等。二是加数的关系。在一般的“和相等”算式中，等号左右两边的一个加数无论发生什么数量变化，只要另一个加数能做相反的变化，等式依然成立。如果是多个加数，也只要保证加和减的数值相等。如果加数个数较多或者等号连接的算式较多，加数关系的解决方式会更凸显出优势。因此，加数关系一直被认为是巧妙解决“和相等”问题的关键策略。
（二）“和相等”问题的基本形式
在低段数学学习中，可以运用“和相等”解决的题型分为以下三种：
1.基础型，一般是几组两个或多个加数相加“和相等”的形式，用字母形式可以表示为A+B=C+D；
2.减法转化型，主要以减法形式呈现，其实可以转化成加法再计算，用字母表示为A+B-C=D，经过简单的一步转化也可以转变成基础型；
3.数阵型，以图形组合的数阵形式呈现，包括简单几何，如“十”字形、三角形、多边形等，以及宫格型，如九宫格等。
就基础型而言，它是最明显表现“和相等”关系的，依靠传统加数关系就可以解决。其他几种类型究其根本，多是从基础型转化而来。如“十”字形，可以转化为A+B+C=D+F+C，其中C为“十”字形两线交叉中间的数，因为不会影响等式成立，又可以转化成基础型A+B=D+F。“人”字形、“米”字形同样可以用这种方法转化。减法转化型也是如此，只要运用移项等减法规律即可以轻松转化为基础型。但对于三角形、宫格型，如果将其转化成等式，由于等号相连的三个算式没有共同的数，无法轻松解决问题。在学生的思维中，这几种类型题都是孤立的，“和相等”问题没有形成统一的解决体系。
（三）“和相等”问题的模型建构
布卢姆在《教育目标分类学》中说：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。其中的“转化思想”即为思维迁移，是学生解答数学问题的一种重要的思维方法，也是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想。课程标准指出：“要让学生在学习中获得适应未来社会生活和继续学习所必需的数学基本知识及基本的数学思想方法。”
1.等式型“和相等”问题
仔细分析几种“和相等”问题类型可以发现，大都是把一些数填入空格中使等式成立，而这些待填的数一般都是一组等差数列。如同小高斯计算“1+2+3+…+100”一样，把对称的数两两搭配“和相等”，就可以轻松写出所有的“和相等”组合。这样搭配得到的数对通常为一大一小，好比“小手拉大手”，第二小的数与第二大的数组合，像朋友间互帮互助一样，最终使得每个数对的和都相等，建构数对搭配的基础模型。
2.数阵型“和相等”问题
用传统方法不能轻松解决的数阵型问题，也可以从数列对称搭配的角度来思考。“十”字形的数阵其实就是等式型的一个变形，中间的数存在于每一条直线上。在数列中，头、尾的数两两搭配时，中间的数可以被看作是无法配对的数。以此为模型，无论是“十”字形还是“米”字形数阵，只要存在一个中间数均可用这样的模型去解决。当数的个数为奇数时，一般去掉一个数变成偶数个数再两两搭配，按照“去头、去尾、去中间”的规则保证对称的数搭配“和相等”。
三、合理设计，学会迁移
应用等差数列对称数的简单性质建构模型，可以使大部分“和相等”问题简单化，但对于低年级尤其是一年级学生来说，理解上有一定困难。因此，在教学中，需要运用一些小策略，以帮助学生理解。
（一）“偷换概念”，简化规律
在对等差数列的对称搭配的讲解中，“对称”一词的解释是个难点，如果将“对称”变换为“到中间等距的数”，能够让“对称”一词通俗易懂。在课堂讲解时，运用“等距搭配”的概念，可以将数排列后找到中心线，线两侧到中心线距离相等的数就是可以搭配的数对，绕开“对称”概念学生仍可以进行准确搭配。
（二）创设情景，增强趣味
数列思想迁移于一年级的“和相等”问题，找到搭配的数对是理解的关键。对一年级的学生来说，找等距的数仍有较大困难，可以把它融入具体情景中去。教学中可以设计这样的游戏，排好队的数宝宝一起向中间跳，跳的长度相等的两个数宝宝可以成为好朋友（搭配为数对），请学生找一找：哪些数宝宝的组合到中间的长度一样。游戏结束，学生发现：可以搭配的数对都是中间线两边到中间线距离相等的数，即等距相加“和相等”。以此帮助学生快速理解等差数列的对称搭配，为模型建构打好必要基础。
（三）区分加数，帮助理解
对加数关系的分析也是思维迁移的必要基础。为了更准确地理解加数关系，如A+B=C+D，可以分别将左边的A、C称为第一加数，右边的B、D称为第二加数，引导学生观察第一加数与第二加数的变化规律。这样的区分能帮助学生准确理解加数关系。
